3 Ejemplo A

Supongamos que nos interesa encontrar:

(1) la constante de normalización de $p(\theta \vert \bmath{x})$ en (2);

(2) el valor esperado final de $\theta$; y

(3) la densidad predictiva de $X_F$.

En este caso resulta conveniente trabajar en términos de la reparametrización $\nu = \log \theta$. La densidad final de $\nu$ se obtiene fácilmente de (2) a través de un cambio de variable, y está dada por

$$p(\nu \vert \bmath{x}) \propto p_x(\nu) \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (\nu \in \Rex)$$

donde

$$p_x(\nu) = \frac{ \eb^{ (n-1) \, \nu} \, \left( \prod_{i=1}^... ...^{e^\nu} } { \left( \sum_{i=1}^n x_i^{e^\nu} \right)^{\! n} }.$$

$\bullet$ Aproximación normal asintótica. Una primera aproximación a $p(\nu \vert \bmath{x})$, que será de mucha utilidad en la aplicación de algunos de los métodos discutidos más adelante, es

$$\hat{p}(\nu \vert \bmath{x}) = N(\nu \vert \hat{\nu}, V(\hat{\nu}))$$

donde los valores $\hat{\nu} = -0.1781658$ y $V(\hat{\nu}) = 0.02015616$ pueden obtenerse, por ejemplo, a través del conocido método de Newton-Raphson.

$\bullet$ Aproximación de Laplace para la constante de normalización de $p(\theta \vert \bmath{x})$.

$$\hat{I}_s = (2 \pi)^{1/2} \, V(\hat{\nu})^{1/2} \, p_x(\hat{\nu}) = 1.277015 \times 10^{-54}.$$

$\bullet$ Valor esperado final de $\theta$. De acuerdo con el resultado del Ejemplo 2.1, la forma estándar de la aproximación de Laplace está dada en este caso por

$$\hat{E}(\theta \vert \bmath{x}) = \eb^{\hat{\nu}} = 0.836807.$$

Por otra parte, la forma exponencial produce la aproximación

$$\tilde{E}(\theta \vert \bmath{x}) = \frac{\tilde{S}_\emptyset\{ \eb^\nu \}}{\tilde{S}_\emptyset\{ 1 \}} = 0.8327572,$$

dado que $\tilde{S}_\emptyset\{ \eb^\nu \} = \eb^{\hat{\nu}^*} \, (2 \pi / n)^{1/2} \, \Sigma^*(\hat{\nu}^*)^{1/2} \, p_x(\hat{\nu}^*) = 1.063443 \times 10^{-54}$ y $\tilde{S}_\emptyset\{ 1 \} = \hat{I}_s$ (ver Ejemplo 2.2). Los valores $\hat{\nu}^* = -0.1583074$ y $\Sigma^*(\hat{\nu}^*) = 0.5870183$ pueden obtenerse utilizando el método de Newton-Raphson.

$\bullet$ Densidad predictiva de $X_F$. Notemos primero que la integral (3) puede escribirse como

$$p(x_F \vert \bmath{x}) \propto \int_{-\infty}^{\infty} \frac... ...\nu} \right)^{\! n+1} } \; \, p(\nu \vert \bmath{x}) \, d \nu.$$

Aplicando ahora la aproximación de Laplace en su forma estándar a esta expresión tenemos

$$\hat{p}(x_F \vert \bmath{x}) \propto \frac{ \hat{\theta} \, ... ...\theta}} + \sum_{i=1}^n x_i^{\hat{\theta}} \right)^{\! n+1} },$$ (7)

donde $\hat{\theta} = \eb^{\hat{\nu}}$. En este caso la constante de normalización puede calcularse analíticamente y es igual a $1/n = 1/30$. Por lo tanto

$$\hat{p}(x_F \vert \bmath{x}) = \frac{ n \, \hat{\theta} \, x... ...\theta}} + \sum_{i=1}^n x_i^{\hat{\theta}} \right)^{\! n+1} }.$$

La Figura 3 de la página  muestra la gráfica de esta aproximación a la densidad predictiva de $X_F$.