2 Forma exponencial

Si la función $q(\cdot)$ es positiva, la integral (5) también puede escribirse como

$$I = \int q^{*}(\bmath{\theta}) \, \exp\{ -n \, h^{*}(\bmath{\theta}) \} \, d \bmath{\theta},$$

con $q^{*}(\bmath{\theta}) \equiv 1$ y $h^{*}(\bmath{\theta}) = h(\bmath{\theta}) - \frac{1}{n} \, \log q(\bmath{\theta})$. En otras palabras, podemos escribir a la integral como

$$I = \int \exp\{ -n \, h^{*}(\bmath{\theta}) \} \, d \bmath{\theta}.$$ (6)

Suponiendo que $h^{*}(\cdot)$ tiene un mínimo en $\hat{\bmath{\theta}}^{*}$, es posible aplicar la Proposición 2.2 para obtener la aproximación

$$\tilde{I} = (2 \, \pi / n)^{d/2} \, \vert \bmath{\Sigma}^{*}... ...vert^{1/2} \, \exp\{ -n \, h^{*}(\hat{\bmath{\theta}}^{*}) \},$$

donde

$$\bmath{\Sigma}^{*}(\bmath{\theta}) = \left\{ \frac{\partial^... ...al \bmath{\theta}^T \, \partial \bmath{\theta}} \right\}^{-1}.$$

La representación (6) es un caso particular importante de (5) y da lugar a la llamada forma exponencial de la aproximación de Laplace. Tenemos entonces el siguiente corolario de la Proposición 2.2.