1 Forma estándar

Supongamos que se desea calcular una integral de la forma

$$I = \int q(\bmath{\theta}) \, \exp\{ -n \, h(\bmath{\theta}) \} \, d \bmath{\theta}$$ (5)

donde $q:\Rex^d \rightarrow \Rex$ y $h:\Rex^d \rightarrow \Rex$ son funciones suaves de $\bmath{\theta}$. Supongamos también que $h(\cdot)$ tiene un mínimo en $\hat{\bmath{\theta}}$. El método de Laplace aproxima $I$ a través de

$$\hat{I} = q(\hat{\bmath{\theta}}) \, (2 \, \pi / n)^{d/2} \,... ...eta}}) \vert^{1/2} \, \exp\{ -n \, h(\hat{\bmath{\theta}}) \},$$

donde

$$\bmath{\Sigma}(\bmath{\theta}) = \left\{ \frac{\partial^2 h(... ...al \bmath{\theta}^T \, \partial \bmath{\theta}} \right\}^{-1}.$$

Notemos que, en general, una integral dada

$$\int f(\bmath{\theta}) \, d \bmath{\theta}$$

puede escribirse como

$$\int q(\bmath{\theta}) \, \exp\{ -n \, h(\bmath{\theta}) \} \, d \bmath{\theta}$$

para distintas funciones $q(\cdot)$ y $h(\cdot)$. Para un valor fijo de $n$, la precisión de la aproximación de Laplace depende tanto de la elección particular de estas funciones como de la parametrización que se utilice. Por otra parte, es posible lograr una mayor precisión si se mantienen algunos términos de orden mayor en la expansión en serie de Taylor, pero esto requiere a su vez del cálculo de derivadas de orden mayor. En ocasiones $q(\cdot)$ y $h(\cdot)$ se eligen de manera que el valor de $\hat{\bmath{\theta}}$ pueda encontrarse fácilmente (de preferencia en forma analítica). De esta manera se obtiene una aproximación rápida y simple, aunque no siempre suficientemente precisa. Al igual que en el caso de la aproximación normal, en aplicaciones específicas generalmente no es posible determinar de manera sencilla si la aproximación de Laplace es adecuada para el tamaño de muestra dado.