3 Densidades marginales

Sea $\bmath{\theta} = (\bmath{\theta}_1,\bmath{\theta}_2)$, con $\bmath{\theta}_1 \in \Rex^{d_1}$ y $\bmath{\theta}_2 \in \Rex^{d-d_1}$. Supongamos que la distribución de $\bmath{\theta}$ se escribe como

$$p(\bmath{\theta}_1,\bmath{\theta}_2 ) \propto q(\bmath{\thet... ...theta}_2) \, \exp\{ - h(\bmath{\theta}_1,\bmath{\theta}_2) \},$$

donde $q(\cdot)$ y $h(\cdot)$ son funciones suaves, y que interesa calcular la densidad marginal de $\bmath{\theta}_1$, i.e.

$$p(\bmath{\theta}_1) \propto \int q(\bmath{\theta}_1,\bmath{\... ...h(\bmath{\theta}_1,\bmath{\theta}_2) \} \, d \bmath{\theta}_2.$$

Para cada valor de $\bmath{\theta}_1$, sean

$$q_{\theta_1}(\bmath{\theta}_2) = q(\bmath{\theta}_1,\bmath{\... ...a_1}(\bmath{\theta}_2) = h(\bmath{\theta}_1,\bmath{\theta}_2),$$

de manera que $q_{\theta_1}(\cdot)$ y $h_{\theta_1}(\cdot)$ son, respectivamente, $q(\cdot)$ y $h(\cdot)$ vistas sólo como funciones de $\bmath{\theta}_2$. Finalmente, supongamos que $h_{\theta_1}(\cdot)$ tiene un mínimo en $\hat{\bmath{\theta}}_2 = \hat{\bmath{\theta}}_2(\bmath{\theta}_1)$.

$\diamond$ Forma estándar. La forma estándar de la aproximación de Laplace se reduce entonces a

$$\hat{p}(\bmath{\theta}_1) \propto \vert \bmath{\Sigma}(\bmat... ... p(\bmath{\theta}_1,\hat{\bmath{\theta}}_2(\bmath{\theta}_1)),$$

donde $\bmath{\Sigma}(\bmath{\theta}_1) = \bmath{\Sigma}_{\theta_1}(\hat{\bmath{\theta}}_2(\bmath{\theta}_1))$, con

$$\bmath{\Sigma}_{\theta_1}(\bmath{\theta}_2) = \left\{ \frac{... ...bmath{\theta}_2^T \, \partial \bmath{\theta}_2} \right\}^{-1}.$$

$\diamond$ Forma exponencial. Notemos que la distribución de $\bmath{\theta}$ también puede escribirse como

$$p(\bmath{\theta}_1,\bmath{\theta}_2) \propto q^*(\bmath{\the... ...eta}_2) \, \exp\{ - h^*(\bmath{\theta}_1,\bmath{\theta}_2) \},$$

con $q^*(\bmath{\theta}_1,\bmath{\theta}_2) \equiv 1$ y $h^*(\bmath{\theta}_1,\bmath{\theta}_2) = h(\bmath{\theta}_1,\bmath{\theta}_2) - \log q(\bmath{\theta}_1,\bmath{\theta}_2)$. Como antes, para cada valor de $\bmath{\theta}_1$ definimos

$$q_{\theta_1}^*(\bmath{\theta}_2) = q^*(\bmath{\theta}_1,\bma... ...^*(\bmath{\theta}_2) = h^*(\bmath{\theta}_1,\bmath{\theta}_2),$$

y suponemos que $h_{\theta_1}^*(\cdot)$ tiene un mínimo en $\hat{\bmath{\theta}}_2^* = \hat{\bmath{\theta}}_2^*(\bmath{\theta}_1)$. La forma exponencial de la aproximación de Laplace se reduce entonces a

$$\tilde{p}(\bmath{\theta}_1) \propto \vert \bmath{\Sigma}^*(\... ...(\bmath{\theta}_1,\hat{\bmath{\theta}}_2^*(\bmath{\theta}_1)),$$

donde $\bmath{\Sigma}^*(\bmath{\theta}_1) = \bmath{\Sigma}_{\theta_1}^*(\hat{\bmath{\theta}}_2^*(\bmath{\theta}_1))$, con

$$\bmath{\Sigma}_{\theta_1}^*(\bmath{\theta}_2) = \left\{ \fra... ...bmath{\theta}_2^T \, \partial \bmath{\theta}_2} \right\}^{-1}.$$