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3 Ejemplo

Gelfand, Hills, Racine-Poon y Smith (1990) discuten el análisis Bayesiano de los datos presentados en la Tabla 2.

Estos datos corresponden a los pesos (en gramos) de 30 ratas jóvenes en un grupo de controles. El peso de cada una de las ratas fue medido a los $x_1=8$, $x_2=15$, $x_3=22$, $x_4=29$ y $x_5=36$ días de edad.

De acuerdo con Gelfand, Hills, Racine-Poon y Smith (1990), dado el periodo de tiempo considerado es razonable suponer un crecimiento lineal del peso de cada una de las ratas. Para simplificar el análisis, estos autores también suponen homoscedasticidad. Específicamente proponen el siguiente modelo jerárquico.

Nivel I.

\begin{displaymath}
Y_{ij} \sim N(\beta_{1i} + \beta_{2i} x_{ij}, \sigma^2)
\end{displaymath}

donde $Y_{ij}$ y $x_{ij}$ denotan el peso y la edad, respectivamente, de la $i$-ésima rata al realizarse la $j$-ésima medición ($i=1,\ldots,30$; $j=1,\ldots,5$).

Nivel II.

\begin{displaymath}
\bmath{\beta}_i \sim N_2(\bmath{\alpha}, \bmath{\Sigma}_{\beta *}),
\end{displaymath}

donde $\bmath{\beta}_i = (\beta_{1i}, \beta_{2i})'$; $i=1,\ldots,30$.

Nivel III.

\begin{displaymath}
\bmath{\alpha} \sim N_2(\bmath{\alpha}_0, \bmath{\Sigma}_\alpha),
\end{displaymath}




Table 2: Crecimiento de un grupo de ratas (controles)
Rata $x_1$ $x_2$ $x_3$ $x_4$ $x_5$ Rata $x_1$ $x_2$ $x_3$ $x_4$ $x_5$
1 151 199 246 283 320 16 160 207 248 288 324
2 145 199 249 293 354 17 142 187 234 280 316
3 147 214 263 312 328 18 156 203 243 283 317
4 155 200 237 272 297 19 157 212 259 307 336
5 135 188 230 280 323 20 152 203 246 286 321
6 159 210 252 298 331 21 154 205 253 298 334
7 141 189 231 275 305 22 139 190 225 267 302
8 159 201 248 297 338 23 146 191 229 272 302
9 177 236 285 340 376 24 157 211 250 285 323
10 134 182 220 260 296 25 132 185 237 286 331
11 160 208 261 313 352 26 160 207 257 303 345
12 143 188 220 273 314 27 169 216 261 295 333
13 154 200 244 289 325 28 157 205 248 289 316
14 171 221 270 326 358 29 137 180 219 258 291
15 163 216 242 281 312 30 153 200 244 286 324

Gelfand, Hills, Racine-Poon y Smith (1990) consideran el caso en el que $\sigma^2$ y $\bmath{\Sigma}_{\beta *}$ son desconocidos y asignan una distribución inicial no informativa a estos parámetros. El análisis que presentan es exacto y se basa en el uso de una técnica de simulación conocida como Muestreo de Gibbs (ver, por ejemplo, Gilks, Richardson y Spiegelhalter, 1996).

Con el propósito de ilustrar el análisis aproximado discutido en la Sección 4.1.2, aquí analizaremos los datos de la Tabla 2 utilizando el modelo descrito en el Ejemplo 4.2. Para ello es necesario estimar primero los parámetros $\sigma^2$ y $\bmath{\Sigma}_{\beta *}$.

Sea $\hat{\bmath{\beta}}_i$ el estimador de mínimos cuadrados de $\bmath{\beta}_i$, basado exclusivamente en los datos de la $i$-ésima rata ($i=1,\ldots,30$), y sea

\begin{displaymath}
\hat{\bmath{\Sigma}}_{\beta *} = \frac{1}{30} \sum_{i=1}^{30...
...\beta}}^*)
(\hat{\bmath{\beta}}_i - \hat{\bmath{\beta}}^*)',
\end{displaymath}

donde

\begin{displaymath}
\hat{\bmath{\beta}}^* =
\frac{1}{30} \sum_{i=1}^{30} \hat{\bmath{\beta}}_i
\end{displaymath}

denota la ``media muestral'' de los estimadores $\hat{\bmath{\beta}}_i$. Por otro lado, sea

\begin{displaymath}
\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{150} \sum_{i=1}^{30} \sum_{j=1}^{5}
(y_{ij} - \hat{y}_{ij})^2,
\end{displaymath}

donde $\hat{y}_{ij} = \hat{\beta}_{1i} + \hat{\beta}_{2i} x_{ij}$. En particular, para los datos de la Tabla 2 se tiene que $\hat{\sigma}^2 = 27.13$ y

\begin{displaymath}
\hat{\bmath{\Sigma}}_{\beta *} =
\left(
\begin{array}{cc}
158.39 & -2.50 \\
-2.50 & 0.33
\end{array}\right).
\end{displaymath}

Figure 4: Distribución final para los coeficientes de la población y de la Rata 15
\begin{figure}\centerline{\psfig{figure=fig3.ps,height=3.75in}}\vspace{-1.5ex}
\end{figure}

Para completar la especificación del modelo es necesario asignar una distribución inicial a $\bmath{\alpha}$. Aquí utilizaremos los valores $\bmath{\alpha}_0 = \mbmath{0}$ y

\begin{displaymath}
\bmath{\Sigma}_{\alpha} =
\left(
\begin{array}{cc}
10000 & 0 \\
0 & 10000
\end{array}\right),
\end{displaymath}

que corresponden a un estado de información inicial `vaga', pero que dan lugar a una distribución inicial propia para $\bmath{\alpha}$.

En la Figura 4 se presentan las distribuciones finales tanto para los coeficientes poblacionales como para los coeficientes correspondientes a la Rata 15: (a) $\beta_1$; (b) $\beta_2$; (c) $\beta_{1,15}$; (d) $\beta_{2,15}$. En términos generales, las inferencias sobre los coeficientes poblacionales $\beta_1$ y $\beta_2$ obtenidas a partir del presente análisis serán muy similares a las presentadas por Gelfand, Hills, Racine-Poon y Smith (1990; Figura 5). Debe señalarse, sin embargo, que nuestro análisis es aproximado y no toma en cuenta la incertidumbre sobre los valores de los parámetros $\sigma^2$ y $\bmath{\Sigma}_{\beta *}$, lo que podría llevar a sobreestimar la precisión de las inferencias sobre algunos de los parámetros restantes.

La Figura 5 muestra la distribución predictiva final para el peso de la Rata 15 a los 43 días de edad. El correspondiente intervalo de máxima densidad del 95% es (341.14, 369.71).

Figure 5: Distribución predictiva final del peso de la Rata 15 a los 43 días de edad
\begin{figure}\centerline{\psfig{figure=fig4.ps,height=3.75in}}\vspace{-1.5ex}
\end{figure}


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