Supongamos por el momento que
y
notemos que
En principio es posible utilizar alguna regla de integración univariada
para integrar , digamos
La regla resultante en dos dimensiones está dada entonces por
Podemos pensar ahora en (9) como una sola regla bidimensional con nodos dados por y pesos asociados . Las reglas de la forma (9) son conocidas como reglas cartesianas. La extensión al caso de dimensiones es directa. En general las reglas cartesianas pueden llegar a ser bastante ineficientes, incluso para valores moderados de .
Cuadratura de Gauss-Hermite. En el caso multidimensional, los nodos de la regla de Gauss-Hermite corresponden a los vértices de una retícula cartesiana. Si la correlación entre los elementos de es muy alta entonces muchos de estos nodos estarán ubicados en zonas donde la densidad toma valores muy pequeños. En la versión general del método iterativo de Naylor y Smith (1982) mencionado en la sección anterior, en cada iteración el estimador de la matriz de varianzas-covarianzas es utilizado para definir la transformación
Reglas esféricas. Una alternativa a la regla cartesiana de Gauss-Hermite consiste en reescribir el problema en términos de coordenadas esféricas y construir reglas de integración cuyos nodos estén colocados simétricamente sobre esferas concéntricas. Estas reglas son bastante eficientes cuando , pero para pueden ser inestables.