1 Ideas básicas

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1 Ideas básicas

A lo largo de esta sección nos concentraremos en situaciones donde los eventos de interés están definidos explícitamente en términos de las variables aleatorias $X_1,\ldots,X_n$ (las cuales pueden representar tanto datos observacionales como datos experimentales). En estos casos supondremos que la descripción del conocimiento acerca de dichos eventos se deriva de la especificación de una distribución conjunta $p(x_1,\ldots,x_n)$ . Esta distribución define de manera implícita otras especificaciones que pueden ser de interés. Por ejemplo, para $1 \leq m \leq n$ ,

$\begin{displaymath} p(x_1,\ldots,x_m) = \int p(x_1,\ldots,x_m,x_{m+1},\ldots,x_n) \, dx_{m+1} \cdots dx_n, \end{displaymath}$

es la distribución marginal de $(X_1,\ldots,X_m)$ , mientras que

$\begin{displaymath} p(x_{m+1},\ldots,x_n \vert x_1,\ldots,x_m) = \frac{p(x_1,\ldots,x_m,x_{m+1},\ldots,x_n)}{p(x_1,\ldots,x_m)} \end{displaymath}$

(1)

es la distribución condicional de las variables aún no observadas, $X_{m+1},\ldots,X_n$ , dados los datos $X_1=x_1,\ldots,X_m=x_m$ . Desde el punto de vista Bayesiano, (1) es la clave del proceso de aprendizaje.

Es claro que la especificación directa de $p(x_1,\ldots,x_n)$ es imposible en la práctica, excepto tal vez en situaciones excepcionalmente simples. Es por esto que debemos examinar con cuidado el proceso de selección de una medida de probabilidad específica que describa adecuadamente nuestro conocimiento.

$\begin{Def} Un {\em modelo predictivo} para una sucesi\'on de variables aleatori... ...nuestro conocimiento acerca de cualquier subconjunto de la sucesi\'on. \end{Def}$

$\begin{Example} Consideremos una sucesi\'on de variables aleatorias $X_1,X_2,\ld... ...proporcionan informaci\'on alguna sobre las observaciones futuras. \end{Example}$

En el resto de esta sección nos concentraremos en una forma particular de juicio subjetivo acerca de ciertas estructuras de dependencia simples pero que pueden corresponder a juicios reales en situaciones de interés práctico.

$\begin{Def} Las variables aleatorias $X_1,\ldots,X_n$\ son {\em (finitamente) in... ...da permutaci\'on $\pi$\ definida sobre el conjunto $\{1,2,\ldots,n\}$. \end{Def}$

En otras palabras, las ``etiquetas'' que identifican a cada una de las variables no proporcionan información alguna.

Es claro que si las variables aleatorias $X_1,\ldots,X_n$ son independientes e idénticamente distribuidas entonces son intercambiables. El ejemplo siguiente muestra que $X_1,\ldots,X_n$ pueden ser intercambiables a pesar de no ser independientes.

$\begin{Example} Sea $\bmath{X}=(X_1,\ldots,X_n)$\ un vector aleatorio con distri... ...n$\ no son independientes, pero siguen siendo intercambiables. \par\end{Example}$

$\begin{Def} % latex2html id marker 200La sucesi\'on infinita de variables alea... ...ta es intercambiable en el sentido de la Definici\'on~\ref{def:infin}. \end{Def}$

Comentario. No toda colección finita de variables aleatorias intercambiables puede anidarse en una sucesión infinita de variables aleatorias intercambiables definidas de manera similar. Más aún, como lo ilustra el siguiente ejemplo, una colección finita de variables aleatorias intercambiables no necesariamente puede anidarse en una colección finita más grande de variables aleatorias intercambiables.

$\begin{Example} Sean $X_1$, $X_2$\ y $X_3$\ variables aleatorias que toman valor... ...playmath}lo cual contradice la suposici\'on de intercambiabilidad. \end{Example}$

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