next up previous
Next: 4 Modelos Jerárquicos Up: 3 Regresión Previous: 4 Inferencia y predicción

5 Ejemplo

Se simularon 20 observaciones del modelo

\begin{displaymath}
Y = 7 + 2.5 z + 0.35 z^3 + \epsilon,
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;
\epsilon \sim N(0,10),
\end{displaymath}

para valores equidistantes de $z$ distribuidos a lo largo del intervalo $[-5,5]$. Los datos se presentan en la Tabla 1. La Figura 1(a) muestra los datos junto con el modelo verdadero.




Table 1: Datos simulados
$y$ $z$ $y$ $z$
-46.93 -5.00 12.06 0.26
-31.32 -4.47 11.02 0.79
-27.31 -3.95 4.31 1.32
-15.86 -3.42 15.58 1.84
-7.59 -2.89 17.81 2.37
-5.71 -2.37 18.58 2.89
1.93 -1.84 32.71 3.42
3.89 -1.32 36.27 3.95
3.80 -0.79 46.27 4.47
2.53 -0.26 67.98 5.00

Se ajustó el modelo $y=\beta_0 + \beta_1 z + \beta_2 z^2 + \beta_3 z^3 + \epsilon$. La distribución final de referencia para $\sigma^2$ es $IGa(8,90.19)$ y se presenta en la Figura 1(b). En particular, $E(\sigma^2\vert\bmath{y}) = 12.88$. Notemos, sin embargo, que la distribución de $\sigma^2$ es asimétrica, por lo que un estimador puntual posiblemente más adecuado sería Moda $(\sigma^2\vert\bmath{y}) = 10.02$. Por otra parte, Var $(\sigma^2\vert\bmath{y}) = 27.67$. El intervalo de máxima densidad del 95% es (9.23, 15.13), el cual contiene al verdadero valor de $\sigma^2$.

La Figura 1(c) muestra la distribución predictiva final para una observación futura cuando $z=0$. El correspondiente intervalo de máxima densidad del 95% es (-2.17,14.57). En la Figura 1(d) se presenta el modelo verdadero (línea continua) junto con el modelo ajustado (línea punteada) y una banda de probabilidad obtenida a partir de los intervalos de predicción del 95% para cada punto en la región de interés.

Si se desea hacer inferencias sobre los coeficientes de regresión, entonces debe calcularse la distribución final de $\bmath{\beta}$. Dicha distribución es una $t$ de Student con 16 grados de libertad, media $\bmath{b}_1=(6.20,2.27,0.09,0.36)'$ y matriz de varianzas-covarianzas

\begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{cccc}
1.809 & 0.000 & -0.109 & 0.000 \\...
...& 0.000 \\
0.000 & -0.028 & 0.000 & 0.001
\end{array}\right).
\end{displaymath}

En la Figura 2 se presentan las distribuciones finales para cada uno de los coeficientes de regresión: (a) $\beta_0$; (b) $\beta_1$; (c) $\beta_2$; (d) $\beta_3$. En todos los casos el verdadero valor del parámetro está contenido en el correspondiente intervalo de máxima densidad del 95%.

Figure 1: Análisis de los datos simulados
\begin{figure}\centerline{\psfig{figure=fig1.ps,height=3.50in}}\vspace{-3ex}
\end{figure}

Figure 2: Distribuciones finales de los coeficientes de regresión
\begin{figure}\centerline{\psfig{figure=fig2.ps,height=3.75in}}\vspace{-1.5ex}
\end{figure}


next up previous
Next: 4 Modelos Jerárquicos Up: 3 Regresión Previous: 4 Inferencia y predicción