5 Ejemplo

Se simularon 20 observaciones del modelo

$$Y = 7 + 2.5 z + 0.35 z^3 + \epsilon, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \epsilon \sim N(0,10),$$

para valores equidistantes de $z$ distribuidos a lo largo del intervalo $[-5,5]$. Los datos se presentan en la Tabla 1. La Figura 1(a) muestra los datos junto con el modelo verdadero.

Table 1: Datos simulados

$y$	$z$	$y$	$z$
-46.93	-5.00	12.06	0.26
-31.32	-4.47	11.02	0.79
-27.31	-3.95	4.31	1.32
-15.86	-3.42	15.58	1.84
-7.59	-2.89	17.81	2.37
-5.71	-2.37	18.58	2.89
1.93	-1.84	32.71	3.42
3.89	-1.32	36.27	3.95
3.80	-0.79	46.27	4.47
2.53	-0.26	67.98	5.00

Se ajustó el modelo $y=\beta_0 + \beta_1 z + \beta_2 z^2 + \beta_3 z^3 + \epsilon$. La distribución final de referencia para $\sigma^2$ es $IGa(8,90.19)$ y se presenta en la Figura 1(b). En particular, $E(\sigma^2\vert\bmath{y}) = 12.88$. Notemos, sin embargo, que la distribución de $\sigma^2$ es asimétrica, por lo que un estimador puntual posiblemente más adecuado sería Moda $(\sigma^2\vert\bmath{y}) = 10.02$. Por otra parte, Var $(\sigma^2\vert\bmath{y}) = 27.67$. El intervalo de máxima densidad del 95% es (9.23, 15.13), el cual contiene al verdadero valor de $\sigma^2$.

La Figura 1(c) muestra la distribución predictiva final para una observación futura cuando $z=0$. El correspondiente intervalo de máxima densidad del 95% es (-2.17,14.57). En la Figura 1(d) se presenta el modelo verdadero (línea continua) junto con el modelo ajustado (línea punteada) y una banda de probabilidad obtenida a partir de los intervalos de predicción del 95% para cada punto en la región de interés.

Si se desea hacer inferencias sobre los coeficientes de regresión, entonces debe calcularse la distribución final de $\bmath{\beta}$. Dicha distribución es una $t$ de Student con 16 grados de libertad, media $\bmath{b}_1=(6.20,2.27,0.09,0.36)'$ y matriz de varianzas-covarianzas

$$\left( \begin{array}{cccc} 1.809 & 0.000 & -0.109 & 0.000 \\... ...& 0.000 \\ 0.000 & -0.028 & 0.000 & 0.001 \end{array}\right).$$

En la Figura 2 se presentan las distribuciones finales para cada uno de los coeficientes de regresión: (a) $\beta_0$; (b) $\beta_1$; (c) $\beta_2$; (d) $\beta_3$. En todos los casos el verdadero valor del parámetro está contenido en el correspondiente intervalo de máxima densidad del 95%.

Figure 1: Análisis de los datos simulados

Figure 2: Distribuciones finales de los coeficientes de regresión