2 Modelos jerárquicos lineales

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2 Modelos jerárquicos lineales

En esta sección discutiremos el análisis de un modelo jerárquico lineal Normal con tres niveles, cuya forma general es:

Nivel I. (Observaciones)

$\begin{displaymath} p(\bmath{y}\vert\bmath{\beta}) = N_n(\bmath{y}\vert\bmath{X}\bmath{\beta},\bmath{\Sigma}_y), \end{displaymath}$

(8)

donde $\bmath{y} \in \Rex^n$ , $\bmath{X}$ es una matriz $n \times p$ de rango completo $(p \leq n)$ , $\bmath{\beta} \in \Rex^p$ y $\bmath{\Sigma}_y$ es una matriz $n \times n$ simétrica, definida positiva y conocida. Nivel II. (Parámetros)

$\begin{displaymath} p(\bmath{\beta}\vert\bmath{\alpha}) = N_p(\bmath{\beta}\vert\bmath{H}\bmath{\alpha},\bmath{\Sigma}_\beta), \end{displaymath}$

(9)

donde $\bmath{H}$ es una matriz $p \times q$ de rango completo $(q \leq p)$ , $\bmath{\alpha} \in \Rex^q$ y $\bmath{\Sigma}_\beta$ es una matriz $p \times p$ simétrica, definida positiva y conocida. Nivel III. (Hiperparámetros)

$\begin{displaymath} p(\bmath{\alpha}) = N_q(\bmath{\alpha}\vert\bmath{\alpha}_0,\bmath{\Sigma}_\alpha), \end{displaymath}$

(10)

donde $\bmath{\alpha}_0 \in \Rex^q$ y $\bmath{\Sigma}_\alpha$ es una matriz $q \times q$ simétrica, definida positiva y conocida.

Otra forma de escribir este modelo es

Nivel I.

$\begin{displaymath} \bmath{Y} = \bmath{X}\bmath{\beta} + \bmath{\epsilon}, \hspace{7em} \bmath{\epsilon} \sim N_n(\mbmath{0},\bmath{\Sigma}_y); \end{displaymath}$

Nivel II.

$\begin{displaymath} \bmath{\beta} = \bmath{H}\bmath{\alpha} + \bmath{\omega}, \h... ...7em} \bmath{\omega} \sim N_p(\mbmath{0},\bmath{\Sigma}_\beta); \end{displaymath}$

Nivel III.

$\begin{displaymath} \bmath{\alpha} \sim N_q(\bmath{\alpha}\vert\bmath{\alpha}_0,\bmath{\Sigma}_\alpha). \end{displaymath}$

$\begin{Example} Supongamos que $p=n=k$\ y $q=1$. \par\vskip2ex \par\noindent {\e... ...aci\'on donde la varianza de las observaciones se supone conocida. \end{Example}$

$\begin{Example} Supongamos que $n=\sum_{i=1}^k n_i$\ y $p=\sum_{i=1}^k p_i$. \pa... ...ibuci\'on poblacional com\'un de los coeficientes de regresi\'on. \end{Example}$

Análisis

$\begin{Prop} % latex2html id marker 2543La distribuci\'on final del par\'ametr... ...V}_y^{-1} \bmath{X} \bmath{H} \bmath{\Sigma}_\alpha. \end{displaymath}\end{Prop}$

Notemos que la especificación de este modelo implica que la distribución conjunta de $\bmath{Y}$ , $\bmath{\beta}$ y $\bmath{\alpha}$ es Normal Multivariada. Una vez calculadas la media y la matriz de varianzas-covarianzas de esta distribución, la demostración de la Proposición 4.1 se reduce al cálculo de ciertas distribuciones marginales y condicionales.

Comentario. Debe tenerse cuidado si se desea asignar una distribución inicial no informativa para el hiperparámetro $\bmath{\alpha}$ , ya que si esta distribución es impropia entonces puede ocurrir que la correspondiente distribución final también sea impropia independientemente de las observaciones. En la práctica, es común contar con suficiente información inicial como para restringir el rango de valores del hiperparámetro a una región acotada. Sin embargo, en general, debe verificarse que la distribución final no sea demasiado sensitiva a la elección particular de la distribución inicial.

$\begin{Coro} La distribuci\'on marginal final del par\'ametro $\bmath{\beta}$\ e... ...math{X}' \bmath{V}_y^{-1} \bmath{X} \bmath{V}_\beta. \end{displaymath}\end{Coro}$

$\begin{Prop} La distribuci\'on predictiva final de la observaci\'on futura \begi... ... \bmath{X}_* \bmath{V}_{\beta\vert y} \bmath{X}_*'. \end{displaymath}\end{Prop}$

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