1 Ejemplo A: modelo Weibull

Los datos siguientes corresponden a los tiempos de falla de cierto componente de un aeroplano: 23, 261, 87, 7, 120, 14, 62, 47, 225, 71, 246, 21, 42, 20, 5, 12, 120, 11, 3, 14, 71, 11, 14, 11, 16, 90, 1, 16, 52, 95.

Este tipo de datos se modela generalmente con una distribución Weibull, cuya función de densidad está dada por

$$p(x \vert \theta, \lambda) = \lambda \, \theta \, x^{\theta-... ... \; \; \; \; \; (x \in \Rex_+; \, \theta, \lambda \in \Rex_+).$$ (1)

Supongamos que se desea hacer inferencias sobre el parámetro $\theta$, con base en la distribución inicial no informativa

$$p(\theta,\lambda) \propto \theta^{-2} \, \lambda^{-1}$$

y los $30$ datos listados previamente. Supongamos también que interesa estudiar la distribución predictiva de una observación futura $X_F$ en vista de la información disponible.

Dadas $n$ observaciones $\bmath{x}=(x_1,\ldots,x_n)$ de (1) y la distribución inicial $p(\theta,\lambda)$, la distribución final de $(\theta,\lambda)$ está dada por

$$p(\theta, \lambda \vert \bmath{x}) \propto \lambda^{n-1} \, ... ..., \exp \left\{ - \lambda \, \suma_{i=1}^n x_i^\theta \right\}.$$

En este caso es posible integrar $\lambda$ analíticamente, por lo que después de un poco de álgebra obtenemos las siguientes expresiones para las distribuciones de interés.

Densidad marginal de $\theta$:

$$p(\theta \vert \bmath{x}) \propto \frac{ \theta^{\, n-2} \, ... ...t)^\theta } { \left( \sum_{i=1}^n x_i^\theta \right)^{\! n} }.$$ (2)

Densidad predictiva de $X_F$:

$$p(x_F \vert \bmath{x}) \propto \int_{0}^{\infty} \frac{ \the... ...right)^{\! n+1} } \; \, p(\theta \vert \bmath{x}) \, d \theta.$$ (3)