3 Caso multivariado

Supongamos por el momento que $f:\Rex^2 \rightarrow \Rex$ y notemos que

$$I = \int_a^b \int_{c(\theta_1)}^{d(\theta_1)} f(\theta_1,\th... ...\theta_2 \, d \theta_1 = \int_a^b f_1(\theta_1) \, d \theta_1,$$

donde

$$f_1(\theta_1) = \int_{c(\theta_1)}^{d(\theta_1)} f(\theta_1,\theta_2) \, d \theta_2.$$

En principio es posible utilizar alguna regla de integración univariada para integrar $f_1(\theta_1)$, digamos

$$\int_a^b f_1(\theta_1) \, d \theta_1 \approx \sum_{i=1}^{N_1} u_{1i} \, f_1(\eta_{1i}),$$

pero para ello es necesario que $f_1(\cdot)$ sea una función conocida. Dado que $f_1(\eta_{1i})$ está definida por una integral, es posible aproximarla, para cada valor de $\eta_{1i}$, a través de una segunda regla de integración univariada,

$$f_1(\eta_{1i}) = \int_{c(\eta_{1i})}^{d(\eta_{1i})} f(\eta_{... ... \theta_2 = \sum_{j=1}^{N_2} u_{2j} \, f(\eta_{1i},\eta_{2j}).$$

La regla resultante en dos dimensiones está dada entonces por

$$\hat{I}_{GH} = \sum _{i=1}^{N_1} \sum_{j=1}^{N_2} u_ {1i} \, u_{2j} \, f(\eta_{1i},\eta_{2j}).$$ (9)

Podemos pensar ahora en (9) como una sola regla bidimensional con $N = N_1 N_2$ nodos dados por $\{ (\eta_{1i}, \eta_{2j}) \}$ y pesos asociados $\{ (u_{1i}, u_{2j}) \}$. Las reglas de la forma (9) son conocidas como reglas cartesianas. La extensión al caso de $d>2$ dimensiones es directa. En general las reglas cartesianas pueden llegar a ser bastante ineficientes, incluso para valores moderados de $d$.

$\diamond$ Cuadratura de Gauss-Hermite. En el caso multidimensional, los nodos de la regla de Gauss-Hermite corresponden a los vértices de una retícula cartesiana. Si la correlación entre los elementos de $\bmath{\theta}$ es muy alta entonces muchos de estos nodos estarán ubicados en zonas donde la densidad toma valores muy pequeños. En la versión general del método iterativo de Naylor y Smith (1982) mencionado en la sección anterior, en cada iteración el estimador de la matriz de varianzas-covarianzas es utilizado para definir la transformación

$$\begin{eqnarray*} \psi_1 & = & \theta_1 \\ \psi_i & = & \theta_i + \sum_{j=1}^{i-1} \gamma_{ij} \, \psi_j \; \; \; \; \; \; \; \; (i=2,\ldots,d), \end{eqnarray*}$$

donde $\gamma_{ij} = - \widehat{\mbox{Cov}}(\theta_i,\psi_j) / \widehat{\mbox{Var}}(\psi_j)$. Si la matriz de varianzas-covarianzas apropiada fuera conocida entonces esta transformación produciría un parámetro $\bmath{\psi}$ cuya matriz de varianzas-covarianzas sería diagonal. De esta forma, al definir la retícula en términos de $\bmath{\psi}$ se logra que menos nodos estén ubicados en zonas de baja densidad.

$\diamond$ Reglas esféricas. Una alternativa a la regla cartesiana de Gauss-Hermite consiste en reescribir el problema en términos de coordenadas esféricas y construir reglas de integración cuyos nodos estén colocados simétricamente sobre esferas concéntricas. Estas reglas son bastante eficientes cuando $d \leq 9$, pero para $d > 9$ pueden ser inestables.