1 Ideas básicas

La idea básica del método de Monte Carlo consiste en escribir la integral requerida como el valor esperado de alguna función con respecto a alguna distribución de probabilidad, lo cual sugiere una solución ``estadística'' al problema de integración. Para motivar la discusión consideremos el siguiente ejemplo.

Sea $f: \Rex \rightarrow \Rex_+$. Supongamos que existe $M>0$ tal que $0 \leq f(\theta) \leq M$ para todo $\theta \in [a,b] \,$ y que se desea calcular la integral

$$I = \int_a^b f(\theta) \, d \theta.$$

El valor de esta integral no es más que el área bajo la curva $\phi = f(\theta)$ para $\theta \in [a,b]$. Dicha gráfica queda inscrita en el rectángulo $R = [a,b] \times [0,M]$.

Sea

$$p(\theta,\phi) = \frac{1}{M \, (b-a)} \, \Ind_R(\theta,\phi).$$

Entonces $p(\theta,\phi)$ corresponde a la función de densidad (respecto a la medida de Lebesgue) de una distribución uniforme sobre el rectángulo $R$. La integral $I$ puede entonces estimarse simulando una muestra $(\theta_1,\phi_1),\ldots,(\theta_N,\phi_N)$ de $p(\theta,\phi)$ y contando cuántos de estos valores caen bajo la curva $\phi = f(\theta)$. Específicamente, sea

$$N_f = \sum_{i=1}^N \Ind_C(\theta_i,\phi_i),$$

donde $C = \{ (\theta,\phi) \in R : a \leq \theta \leq b, 0 \leq \phi \leq f(\theta) \}$. Entonces

$$\hat{I}_1 = M \, (b-a) \, \frac{N_f}{N}$$

es un estimador insesgado de $I$. En efecto, cada observación $(\theta_i,\phi_i)$ corresponde a un ensayo Bernoulli con probabilidad de éxito $I/\{M \, (b-a)\}$, por lo que $E(N_f)=NI/\{M \, (b-a)\}$. Más aún, la varianza de este estimador es

$$\mbox{Var}(\hat{I}_1) = \frac{I}{N} \, \{ M \, (b-a) - I \}.$$

Ripley (1987) discute algunas técnicas de simulación estocástica y ofrece una introducción básica al método de Monte Carlo.