1 Cuadratura

Los métodos de integración numérica, también conocidos como métodos de cuadratura, permiten calcular eficientemente algunas características de la distribución final de $\bmath{\theta}$ cuando la dimensión de éste es pequeña.

Sea $f:\Rex^d \rightarrow \Rex$ una función suave y supongamos que se desea calcular la integral

$$I = \int f(\bmath{\theta}) \, d \bmath{\theta}.$$

Una regla de integración está definida por un conjunto de nodos, $\{ \bmath{\eta_i} \}_{i=1}^N$, y un conjunto asociado de pesos o ponderaciones, $\{ u_i \}_{i=1}^N$, tales que

$$I \approx \sum_{i=1}^{N} u_i \, f(\bmath{\eta}_i).$$

A continuación describiremos dos de las reglas más sencillas utilizadas comúnmente en la práctica. Por el momento nos concentraremos en el caso univariado, en el cual interesa evaluar integrales de la forma

$$I = \int_a^b f(\theta) \, d \theta.$$

El caso multivariado será discutido brevemente en la Sección 3.3.

Sean $a=\theta_0 < \theta_1 < \ldots < \theta_N = b$ los valores de $(N+1)$ puntos distribuidos sobre el intervalo $[a,b]$. En particular, si los puntos son equidistantes entonces

$$\theta_i = \theta_0 + i \, h \; \; \; \; \; \; \; \; (i=1,\ldots,N),$$

con $h = (b-a)/N$. En otras palabras,

$$\theta_i = a + \frac{i \, (b-a)}{N} \; \; \; \; \; \; \; \; (i=1,\ldots,N).$$

$\diamond$ Regla del punto medio. Está dada por

$$\hat{I}_{PM} = \sum_{i=1}^{N} f(m_i) \, (\theta_i - \theta_{i-1}),$$

donde $m_i=(\theta_i + \theta_{i-1})/2 \;$ $\; (i=1,\ldots,N)$, de manera que $\eta_i \equiv m_i$ y $u_i \equiv (\theta_i - \theta_{i-1})$.

Si los nodos son equidistantes entonces

$$\begin{eqnarray*} m_i & = & \theta_0 + \left( i - \frac{1}{2} \right) h \\ & =... ...+ \frac{(2i-1)(b-a)}{2N} \; \; \; \; \; \; \; \; (i=1,\ldots,N). \end{eqnarray*}$$

Por lo tanto

$$\hat{I}_{PM} = \frac{(b-a)}{N} \sum_{i=1}^{N} f \! \left( a + \frac{(2i-1)(b-a)}{2N} \right).$$

$\diamond$ Regla trapezoidal. Esta regla está definida por

$$\hat{I}_{T} = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} \{ f(\theta_{i-1}) + f(\theta_i) \} \, (\theta_i - \theta_{i-1}),$$

por lo que en este caso $\eta_i \equiv \theta_i$ y

$$u_i \equiv \left\{ \begin{array}{cl} (\theta_1 - \theta_{0})... ...,N-1 \\ (\theta_N - \theta_{N-1})/2 & i=N. \end{array}\right.$$

Si los nodos son equidistantes entonces

$$\hat{I}_{T} = \frac{(b-a)}{N} \left\{ \frac{1}{2} [\, f(a) +... ...}^{N-1} f \! \left( a + \frac{i \, (b-a)}{N} \right) \right\}.$$

Comentario. En algunas aplicaciones se requiere integrar sobre regiones no acotadas tales como $(-\infty,\infty)$ ó $(0,\infty)$, en cuyo caso las reglas descritas anteriormente no pueden aplicarse directamente. Una alternativa consiste en elegir límites $a$ y $b$ $(a<b)$ de manera que el valor de $f(\theta)$ sea despreciable fuera del intervalo $[a,b]$. Como otra posibilidad, notemos que a través de un cambio de variable apropiado la integral requerida puede reescribirse como

$$\int_{a_\varphi}^{b_\varphi} f_{\varphi}(\varphi) \, d \varphi$$

para alguna variable $\varphi$ y algunos límites $a_{\varphi} < b_{\varphi}$.

La regla de integración discutida en la siguiente sección permite calcular de manera exacta la integral de ciertas funciones definidas sobre todo $\Rex$ y produce buenas aproximaciones para una clase muy amplia de funciones.