Breve historia


Wolfgang Amadeus Mozart (1756-1791) compuso la obra Musikalisches Würfelspiel, singular creación artística en la que el ingenio del músico lo llevó a componer no una pieza para piano sino un generador de valses. Esto es, la obra no contiene una partitura para un pequeño vals de 16 compases sino que tiene un sistema que, apoyado en el azar, puede generar un número mucho muy grande de valses diferentes de 16 compases cada uno.
Mozart escribió 176 compases numerados del 1 al 176 y los agrupó en 16 conjuntos de 11 compases cada uno. El procedimiento para generar un vals particular a partir de esta combinación de habilidad en la composición y el uso del azar, consiste en que cada compás del 1 al 16 se selecciona con unos dados, del correspondiente conjunto de 11 compases. Estos 16 conjuntos o columnas de números, que identifican cada uno de los 176 compases, son los siguientes:


I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
2
96
22
141
41
105
122
11
30
3
32
6
128
63
146
46
134
81
4
69
95
158
13
153
55
110
24
5
40
17
113
85
161
2
159
100
6
148
74
163
45
80
97
36
107
7
104
157
27
167
154
68
118
91
8
152
60
171
53
99
133
21
127
9
119
84
114
50
140
86
169
94
10
98
142
42
156
75
129
62
123
11
3
87
165
61
135
47
147
33
12
54
130
10
103
28
37
106
5

 


IX
X
XI
XII
XIII
XIV
XV
XVI
2
70 121 26 9 112 49 109 14
3
117 39 126 56 174 18 116 83
4
66 139 15 132 73 58 145 79
5
90 176 7 34 67 160 52 170
6
25 143 64 125 76 136 1 93
7
138 71 150 29 101 162 23 151
8
16 155 57 175 43 168 89 172
9
120 88 48 166 51 115 72 111
10
65 77 19 82 137 38 149 8
11
102 4 31 164 144 59 173 78
12
35 20 108 92 12 124 44 131

En el encabezado, en números romanos aparece el número del compás e identificando cada una de las filas aparece un número entre 2 y 12 que corresponde a la suma de las caras de dos dados que deben ser lanzados para definir en cada compás, cuál es el elemento que deberá incluirse en la partitura. La obra aparece publicada por primera vez en la Edición de J.J. Hummel, Berlín-Amsterdam, 1793.
Existen en muchos sitios referencias al “Juego de Dados Musical de Mozart”, en los cuales se enfatiza el número de posibles combinaciones en la elección de la partitura. Existen, también, en la red de Internet, varios sitios en los que se simula este Juego de Dados e inclusive se escucha el vals particular con la calidad sonora de un sintetizador y las restricciones de audio del equipo de cómputo con el que se conecta uno a la red.
Sin entrar al detalle más fino como lo es el que algunos compases son iguales aunque tengan distinto número que los identifica, en principio el número de posibles partituras corresponde al número 11 elevado a la potencia 16. Este número es tan grande que se estima que si se interpretaran continuamente y con un orden sistemático, todas las partituras posibles; y cada interpretación tardara 30 segundos, entonces para agotar todas las posibilidades, se excederían 728 millones de años, interpretando la obra de día y de noche y de manera continua.
Dicho lo anterior es importante mencionar que no todas las realizaciones para la suma de dos dados, son igualmente probables. La distribución probabilística para la suma de las caras de dos dados lanzados al azar, se deduce haciendo la observación de que la suma = 2 sólo cuando en ambas caras aparece el número 1, esto es: (1,1) y la suma = 3 cuando: (1, 2) o bien (2, 1), y así las demás, como la suma = 9 cuando: (3, 6) o (4, 5) o (5, 4) o (6, 3). Se observa que el número total de pares (i,j) es 36. Las referidas probabilidades de la suma son entonces:

Prob(2) = 1/36 = Prob(12)
Prob(3) = 2/36 = Prob(11)
Prob(4) = 3/36 = Prob(10)
Prob(5) = 4/36 = Prob(9)
Prob(6) = 5/36 =Prob(8)
Prob(7) = 6/36

Los 16 lanzamientos del par de dados se hacen de manera independiente y observar que las 16 sumas dieran como resultado, por ejemplo,

(2, 4, 11, 6, 7, 6, 11, 8, 3, 5, 4, 8, 2, 12, 10, 7),

tiene una probabilidad asociada. Se calcula su probabilidad de ocurrencia multiplicando las 16 probabilidades que le corresponden a cada uno de los números ejemplificados, la del 2, la del 4, la del 11, etcétera. En este caso el resultado es:

Prob = (1 x 3 x 2 x 5 x 6 x 5 x 2 x 5 x 2 x 4 x 3 x 5 x 1 x 1 x 3 x 6) x (1/36 elevado a 16).

De todas las más de 45,949 billones de posibles realizaciones 11 elevado a 16, muchas comparten el tener la misma probabilidad de ocurrir pero sólo una de ellas se distingue, desde el punto de vista probabilístico, en tener la probabilidad de ocurrencia más alta. Ésta corresponde a la realización en donde para cada uno de los 16 compases, los dados suman 7 en todas las ocasiones. La probabilidad de dicha realización es 1/6 elevado a 16.
Si como se dijo anteriormente, cada 30 segundos se interpreta una realización del Juego de Dados pero siguiendo al pie de la letra la selección aleatoria, la realización más probable que se ha mencionado, ocurriría “en promedio” cada 44,728 años. Haciendo un cálculo similar, una de las menos probables, por ejemplo (2, 2, 2, ..., 2), ocurriría “en promedio” cada 126,184 billones de años, en donde recordamos que un billón es un millón de millones (no así en otros idiomas). Por ello no pensamos que sea una exageración el que cada vez que se anuncia que se interpretará el Juego de Dados, se presume como Estreno Mundial. Se estima que el Big Bang (inicio del Universo como lo conocemos) ocurrió hace aproximadamente 13 a 15 mil millones de años y que la existencia de nuestro astro solar, que lleva media vida, durará todavía unos 5 mil millones de años. Esto es sin duda información para reflexionar. La obra El Juego de Dados, interpretada siguiendo la selección aleatoria descrita, para permanecer en nuestra cultura y agotar sus posibles realizaciones, evidentemente requerirá de la colonización de otros sistemas solares y que desde luego, no se les olvide llevarla.


La idea original y nuestra propuesta


Aún cuando los 176 compases fueron escritos para piano suelen hacerse arreglos para incorporar otros instrumentos. La Orquesta Sinfónica de Minería le proporcionó a este Instituto, el IIMAS de la UNAM, un arreglo de 176 compases para cuatro cuerdas, con la idea de hacer un sistema computarizado. 

Con esta información, Federico ideo una forma nueva de visualizar las  tablas propuestas por Mozart. Utilizó una serie de cuadernillos, 16 en total, montados en un par de  bases, donde  cada cuadernillo representa una columna de dichas tablas, y donde la primer página representa la suma de los dados igual a dos, la segunda una suma igual a tres y asi sucesivamente hasta llegar a la pagina 11 que representa una suma de 12 en  el par de dados.

Al tirar los dados y obtener el resultado numérico, simplemente se busca la hoja correspondiente en el cuadernillo en turno, empezando por la izquierda. Al finalizar las 16 tiradas se obtiene la "partitura" que puede leerse a lo largo de los 16 cuadernillos. Este esquema de representación es el que se escogio para el simulador.


Como primer paso se capturo el conjunto de compases con el programa llamado Finale para crear una serie de archivos gráficos (imagenes en formatos: jpg, tif,etc. ) en lo que es referido como un arreglo matricial de 11 x 16, donde en cada celda  podría identificarse el compás correspondiente para los cuatro instrumentos. Finalmente se desarrolló un programa que lleva a cabo una simulación aleatoria de las 16 tiradas de un par de dados, identifica la secuencia de objetos gráficos que forman la partitura decidida por el azar. Dicha combinación se imprime en forma de partitura y o particella para cada uno de los cuatro instrumentos de cuerda.

Se ilustra la partitura de la realización más probable:

partitura.jpg

Todas las obras de Mozart han sido catalogadas por su número Köchel y esta obra en particular, Musikalisches Würfelspiel es la K. 294 (Anh.C), así que ha sido propuesto que cada realización pudiera tener un número particular Köchel que la identifique. Es relativamente simple hacer una extensión con 16 “dígitos” utilizando un sistema de base 11, por ejemplo, los “dígitos” 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y A. La correspondencia entre la suma de los dados y cada uno de los 16 compases representaría a la suma igual a 2 con “0”, la suma igual a 3 con “1” y finalmente la suma igual a 12 con “A”. Así la partitura más probable tendría el número Köchel, K. 294.5555555555555555.


Agradecimientos

Agradecemos la colaboración para la captura de la base de datos formada por los 176 compases a Federico O’Reilly Regueiro.
Asimismo, agradecemos a Víctor Hugo Godoy Aguirre de la Dirección General de Servicios de Cómputo Académico por su apoyo en el modelado geométrico y animación del personaje que representa a Mozart.

 

Dr. Federico O’Reilly Togno
M. en I. Hernando Ortega Carillo

Para mayor informacion: http://www.dpye.iimas.unam.mx/mozart