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I
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II
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III
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IV
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V
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VI
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VII
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VIII
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2
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96
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22
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141
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41
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105
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122
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11
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30
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3
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32
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6
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128
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63
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146
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46
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134
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81
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4
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69
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95
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158
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13
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153
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55
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110
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24
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5
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40
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17
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113
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85
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161
|
2
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159
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100
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6
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148
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74
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163
|
45
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80
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97
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36
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107
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7
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104
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157
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27
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167
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154
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68
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118
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91
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8
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152
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60
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171
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53
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99
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133
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21
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127
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9
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119
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84
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114
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50
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140
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86
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169
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94
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10
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98
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142
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42
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156
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75
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129
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62
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123
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11
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3
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87
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165
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61
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135
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47
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147
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33
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12
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54
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130
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10
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103
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28
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37
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106
|
5
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IX
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X
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XI
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XII
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XIII
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XIV
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XV
|
XVI
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2
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70 | 121 | 26 | 9 | 112 | 49 | 109 | 14 |
3
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117 | 39 | 126 | 56 | 174 | 18 | 116 | 83 |
4
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66 | 139 | 15 | 132 | 73 | 58 | 145 | 79 |
5
|
90 | 176 | 7 | 34 | 67 | 160 | 52 | 170 |
6
|
25 | 143 | 64 | 125 | 76 | 136 | 1 | 93 |
7
|
138 | 71 | 150 | 29 | 101 | 162 | 23 | 151 |
8
|
16 | 155 | 57 | 175 | 43 | 168 | 89 | 172 |
9
|
120 | 88 | 48 | 166 | 51 | 115 | 72 | 111 |
10
|
65 | 77 | 19 | 82 | 137 | 38 | 149 | 8 |
11
|
102 | 4 | 31 | 164 | 144 | 59 | 173 | 78 |
12
|
35 | 20 | 108 | 92 | 12 | 124 | 44 | 131 |
En el encabezado, en números romanos aparece
el número del compás e identificando cada una de las
filas aparece un número entre 2 y 12 que corresponde a la suma
de las caras de dos dados que deben ser lanzados para definir en cada
compás, cuál es el elemento que deberá incluirse
en la partitura. La obra aparece publicada por primera vez en la
Edición de J.J. Hummel, Berlín-Amsterdam, 1793.
Existen en muchos sitios referencias al “Juego de Dados Musical de
Mozart”, en los cuales se enfatiza el número de posibles
combinaciones en la elección de la partitura. Existen,
también, en la red de Internet, varios sitios en los
que se simula este Juego de Dados e inclusive se escucha el vals
particular con la calidad sonora de un sintetizador y las restricciones
de audio del equipo de cómputo con el que se conecta uno a la
red.
Sin entrar al detalle más fino como lo es el que algunos
compases son iguales aunque tengan distinto número que los
identifica, en principio el número de posibles partituras
corresponde al número 11 elevado a la potencia 16. Este
número es tan grande que se estima que si se interpretaran
continuamente y con un orden sistemático, todas las partituras
posibles; y cada interpretación tardara 30 segundos, entonces
para agotar todas las posibilidades, se excederían 728 millones
de años, interpretando la obra de día y de noche y de
manera continua.
Dicho lo anterior es importante mencionar que no todas las
realizaciones para la suma de dos dados, son igualmente probables. La
distribución probabilística para la suma de las caras de
dos dados lanzados al azar, se deduce haciendo la observación de
que la suma = 2 sólo cuando en ambas caras aparece el
número 1, esto es: (1,1) y la suma = 3 cuando: (1, 2) o bien (2,
1), y así las demás, como la suma = 9 cuando: (3, 6) o
(4, 5) o (5, 4) o (6, 3). Se observa que el número total de
pares (i,j) es 36. Las referidas probabilidades de la suma son entonces:
Prob(2) = 1/36 = Prob(12)
Prob(3) = 2/36 = Prob(11)
Prob(4) = 3/36 = Prob(10)
Prob(5) = 4/36 = Prob(9)
Prob(6) = 5/36 =Prob(8)
Prob(7) = 6/36
Los 16 lanzamientos del par de dados se hacen de manera independiente y observar que las 16 sumas dieran como resultado, por ejemplo,
(2, 4, 11, 6, 7, 6, 11, 8, 3, 5, 4, 8, 2, 12, 10, 7),
tiene una probabilidad asociada. Se calcula su probabilidad de ocurrencia multiplicando las 16 probabilidades que le corresponden a cada uno de los números ejemplificados, la del 2, la del 4, la del 11, etcétera. En este caso el resultado es:
Prob = (1 x 3 x 2 x 5 x 6 x 5 x 2 x 5 x 2 x 4 x 3 x 5 x 1 x 1 x 3 x 6) x (1/36 elevado a 16).
De todas las más de 45,949 billones de
posibles realizaciones 11 elevado a 16, muchas comparten el tener la
misma probabilidad de ocurrir pero sólo una de ellas se
distingue, desde el punto de vista probabilístico, en tener la
probabilidad de ocurrencia más alta. Ésta corresponde a
la realización en donde para cada uno de los 16 compases, los
dados suman 7 en todas las ocasiones. La probabilidad de dicha
realización es 1/6 elevado a 16.
Si como se dijo anteriormente, cada 30 segundos se interpreta una
realización del Juego de Dados pero siguiendo al pie de la letra
la selección aleatoria, la realización más
probable que se ha mencionado, ocurriría “en promedio” cada
44,728 años. Haciendo un cálculo similar, una de las
menos probables, por ejemplo (2, 2, 2, ..., 2), ocurriría “en
promedio” cada 126,184 billones de años, en donde recordamos que
un billón es un millón de millones (no así en
otros idiomas). Por ello no pensamos que sea una exageración el
que cada vez que se anuncia que se interpretará el Juego de
Dados, se presume como Estreno Mundial. Se estima que el Big Bang
(inicio del Universo como lo conocemos) ocurrió hace
aproximadamente 13 a 15 mil millones de años y que la existencia
de nuestro astro solar, que lleva media vida, durará
todavía unos 5 mil millones de años. Esto es sin duda
información para reflexionar. La obra El Juego de Dados,
interpretada siguiendo la selección aleatoria descrita, para
permanecer en nuestra cultura y agotar sus posibles realizaciones,
evidentemente requerirá de la colonización de otros
sistemas solares y que desde luego, no se les olvide llevarla.
Aún cuando los 176 compases
fueron escritos para piano suelen
hacerse arreglos para incorporar otros instrumentos. La Orquesta
Sinfónica de Minería le proporcionó a este
Instituto, el IIMAS de la UNAM, un arreglo de 176 compases para cuatro
cuerdas, con la idea de hacer un sistema computarizado.
Con esta información, Federico ideo una forma
nueva de
visualizar las tablas propuestas por Mozart. Utilizó una
serie de cuadernillos, 16 en total, montados en un par de bases,
donde cada cuadernillo representa una columna de dichas tablas, y
donde la primer página representa la suma de los dados igual a
dos, la segunda una suma igual a tres y asi sucesivamente hasta llegar
a la pagina 11 que representa una suma de 12 en el par de dados.
Al tirar los dados y obtener el resultado
numérico, simplemente se busca la hoja correspondiente en el
cuadernillo en turno, empezando por la izquierda. Al finalizar las 16
tiradas se obtiene la
"partitura" que puede leerse a lo largo de los 16 cuadernillos. Este
esquema de representación es el que se escogio para el simulador.
Como primer paso se capturo el conjunto de compases
con el programa llamado Finale para crear una serie de
archivos gráficos (imagenes en formatos: jpg, tif,etc. ) en
lo que es referido como un arreglo matricial de 11 x 16, donde en
cada celda podría identificarse el compás
correspondiente para los cuatro instrumentos. Finalmente se
desarrolló un programa que lleva a cabo una simulación
aleatoria de las 16 tiradas de un par de dados, identifica la secuencia
de objetos gráficos que forman la partitura
decidida por el azar. Dicha combinación se imprime en forma de
partitura y o particella para cada uno de los cuatro
instrumentos de cuerda.
Se ilustra la partitura de la realización más probable:
Todas las obras de Mozart han sido catalogadas por
su número Köchel y esta obra en particular, Musikalisches
Würfelspiel es la K. 294 (Anh.C), así que ha sido
propuesto que cada realización pudiera tener un número
particular Köchel que la identifique. Es relativamente simple
hacer una extensión con 16 “dígitos” utilizando un
sistema de base 11, por ejemplo, los “dígitos” 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9 y A. La correspondencia entre la suma de los dados y cada
uno de los 16 compases representaría a la suma igual a 2 con
“0”, la suma igual a 3 con “1” y finalmente la suma igual a 12 con “A”.
Así la partitura más probable tendría el
número Köchel, K. 294.5555555555555555.
Agradecemos la colaboración para la captura
de la base de datos formada por los 176 compases a Federico O’Reilly
Regueiro.
Asimismo, agradecemos a Víctor Hugo Godoy Aguirre de la
Dirección General de Servicios de Cómputo
Académico por su apoyo en el modelado geométrico y
animación del personaje que representa a Mozart.