4 Extensiones

La clase de modelos presentada en la sección anterior puede extenderse para incluir modelos lineales generalizados en uno o varios de los niveles de la jerarquía. A manera de ilustración, consideremos el siguiente modelo:

Nivel I. (Observaciones)

$$p(\bmath{y}\vert\bmath{\beta}) = \prod_{i=1}^{n} p(y_i\vert\theta_i,\varphi_i)$$

donde

$$p(y_i\vert\theta_i,\varphi_i) = b(y_i,\varphi_i) \, \exp\{ \varphi_i [\, y_i \theta_i - a(\theta_i) \,] \},$$

$\theta_i=\bmath{x}_i'\bmath{\beta}$, $\varphi_i=n_i/\sigma^2$ $(i=1,\ldots,n)$ y $\sigma^2 > 0$ es conocida.

En otras palabras, las observaciones siguen una distribución en una familia exponencial. Por ejemplo, los modelos logísticos y loglineales corresponden a las familias Binomial y Poisson, respectivamente.

Nivel II. (Parámetros)

$$p(\bmath{\beta}\vert\bmath{\alpha}) = N_p(\bmath{\beta}\vert\bmath{H}\bmath{\alpha},\bmath{\Sigma}_\beta),$$

donde $\bmath{H}$ es una matriz $p \times q$ de rango completo $(q \leq p)$, $\bmath{\alpha} \in \Rex^q$ y $\bmath{\Sigma}_\beta$ es una matriz $p \times p$ simétrica, definida positiva y conocida.

Nivel III. (Hiperparámetros)

$$p(\bmath{\alpha}) = N_q(\bmath{\alpha}\vert\bmath{\alpha}_0,\bmath{\Sigma}_\alpha),$$

donde $\bmath{\alpha}_0 \in \Rex^q$ y $\bmath{\Sigma}_\alpha$ es una matriz $q \times q$ simétrica, definida positiva y conocida.

El uso de distribuciones Normales en los niveles II y III resulta conveniente desde el punto de vista computacional, además de que generalmente pueden asignarse e interpretarse más fácilmente. Sin embargo, si estas especificaciones no describen adecuadamente la información inicial disponible, en principio es posible utilizar en su lugar las distribuciones conjugadas correspondientes, o cualquier otra familia que se considere apropiada.

En este caso la distribución final de $\bmath{\beta}$ y $\bmath{\alpha}$ no puede encontrarse analíticamente, aunque el modelo puede ser analizado a través de métodos de simulación tales como Monte Carlo vía cadenas de Markov. Por otra parte, un análisis aproximado y relativamente fácil de instrumentar es posible si la aproximación Normal asintótica a la distribución final de $\bmath{\beta}$ y $\bmath{\alpha}$ resulta adecuada en nuestra aplicación particular (ver, por ejemplo, O'Hagan, 1994).

Otra posible extensión de los modelos jerárquicos discutidos en este trabajo consiste en incluir modelos no lineales en uno o más de los niveles de la jerarquía. El lector interesado puede consultar, por ejemplo, el trabajo de Bennet, Racine-Poon y Wakefield (1996).

Los modelos jerárquicos ofrecen una herramienta flexible y útil para modelar una gran variedad de situaciones que ocurren frecuentemente en la práctica, incluyendo el análisis de datos longitudinales y de muestreos estratificados así como problemas de meta-análisis.