1 Familia conjugada

Dada la forma de la verosimilitud, una familia conjugada particularmente conveniente tiene densidades de la forma

$$p(\bmath{\beta},\tau) \propto \tau^{n_0/2} \exp \left\{ -\f... ...th{B}_0 (\bmath{\beta} - \bmath{b}_0) + s_0 \right] \right\},$$

donde $n_0, s_0 \in \Rex$, $\bmath{b}_0 \in \Rex^p$ y $\bmath{B}_0$ es una matriz $p \times p$ simétrica y positiva semi-definida.

Notemos que, dado el valor de $\tau$, el kernel de la densidad condicional $p(\bmath{\beta}\vert\tau)$ es proporcional al de la densidad $N_p(\bmath{\beta}\vert\bmath{b}_0,\tau^{-1} \bmath{B}_0^{-1})$,

$$p(\bmath{\beta}\vert\tau) \propto \tau^{p/2} \exp \left\{ -... ...th{b}_0)' \bmath{B}_0 (\bmath{\beta} - \bmath{b}_0) \right\},$$

de manera que los factores restantes corresponden a la densidad marginal $p(\tau)$,

$$p(\tau) \propto \tau^{(n_0-p)/2} \exp\left\{ - s_0 \tau / 2 \right\}.$$

Haciendo $a=n_0-p+2$ y $d=s_0$, se tiene entonces que

$$p(\bmath{\beta},\tau) = p(\bmath{\beta}\vert\tau) \, p(\tau)$$

$$= N_p(\bmath{\beta}\vert\bmath{b}_0,\tau^{-1} \bmath{B}_0^{-1}) \: Ga(\tau\vert a/2,d/2).$$ (4)

Esta distribución es conocida como Normal-Gamma y es propia si $a>0$, $d>0$ y $\bmath{B}_0$ es positiva definida.